Часто встречающиеся на практике приложения численных методов.

• Общие вопросы компьютерных методов расчета: ошибки округления, устойчивость численных алгоритмов.
• Оптимальные алгоритмы суммирования рядов, ускорение сходимости, оценка точности расчета.
• Численное дифференцирование гладких функций одной переменных, определение величины оптимального шага.

• Численное интегрирование непрерывных функций одной переменной на ограниченных и бесконечных интервалах: замкнутые и открытые методы различных порядков.
• Интегрируемые сингулярности функций одной переменной и способы борьбы с ними.
• Методы оценки точности результата численного интегрирования.
• Численное интегрирование средствами библиотеки GSL.

• Решение нелинейных уравнений, контроль сходимости итерационных процессов и проблема выбора нулевого приближения.
• Минимизация гладких функций многих переменных.

1. Исследовать зависимось ошибки округления \epsilon от величины x для базового типа double, определяя для фиксированного значения x максимaльное значение \epsilon, такое что Дополнителные материалы: "1.3 Error, Accuracy, and Stability" from Numerical Recipies in C (local)
    
2. Реализовать алгоритмы расчета первой и второй производной функции в нуле с помощью следующих аппроксимационных формул: Оценку точности расчета проводить путем сравнения аналитическим выражением Исследовать и объяснить зависимость систематической ошибки расчета от величины шага h. Определить в каждом случае численно и аналитически величину оптимального шага.
   Дополнителные материалы: "5.7 Numerical Derivatives" from Numerical Recipies in C (local)
    
3. Реализовать алгоритм численного расчета интеграла с помощью замкнутого метода Ньютона-Котеса четвертого порядка (учитывающего граничные точки отрезка интегрирования). Оценить точность расчета, используя точное значение интеграла и анализируя характер сходимости численного алгоритма. Определить скорость сходимости метода и сравнить ее с ожидаемой.
   Дополнителные материалы: "Integration of Functions" from Numerical Recipies in C
   • "4.1 Classical Formulas for Equally Spaced Abscissas" (local)
   • "4.2 Elementary Algorithms" (local)
   Пример проекта: /mnt/users/TEACHERS/zaitsev/templates/nkintegr1d-project
   
   Повторить вычисления с использованием функций gsl_integration_qng ( подпакет QNG библиотеки GSL ) и gsl_integration_qag в режимах GSL_INTEG_GAUSS15 и GSL_INTEG_GAUSS61 ( из подпакета QAG библиотеки GSL ) и сравнить результаты.
   Пример проекта: /mnt/users/TEACHERS/zaitsev/templates/nkintegr1d-gsl-project
    
4. Вычислить значение определеного интеграла с помощью метода Ньютона-Котеса четвертого порядка, не учитывающего граничные точки отрезка интегрирования (open Newton-Cowtes). Оценить точность расчета путем анализа остаточного члена аппроксимационной формулы и оценки вклада ошибок округления.
   Дополнителные материалы: "Integration of Functions: 4.1 Classical Formulas for Equally Spaced Abscissas" from Numerical Recipies in C (local)
   
   Повторить вычисления с использованием функций gsl_integration_qags ( подпакет QAGS библиотеки GSL ) и gsl_integration_qagp ( из подпакета QAGP библиотеки GSL ), указав явно положение сингулярности, и сравнить результаты.
    
5. Реализовать алгоритм численного расчета функции методами обрезания вблизи нижнего предела и степенной регуляризующей заменой переменных. Оценить точность расчета.
   Дополнителные материалы: "Integration of Functions: 4.4 Improper Integrals" from Numerical Recipies in C (local)
   
   Повторить вычисления с использованием функции gsl_integration_qaws ( из подпакета QAWS библиотеки GSL ). Является такой подход оптимальным?
    
6. Найти все корни уравнения ( графики функций для левой и правой частей ) воспользовавшись методами Ньютона, бисекции и секущих. Для метода Ньютона исследовать сходимость в зависимости от начального значения на отрезке Дополнителные материалы: график функции Дополнителные материалы: "Root Finding and Nonlinear Sets of Equations" from Numerical Recipies in C
   Пример проекта: /mnt/users/TEACHERS/zaitsev/templates/nsolver1d-project

1. Построить и реализовать алгоритм численного расчета интеграла двумя способами: с помощью замены переменной и методом обрезания на верхнем и нижнем пределах, увеличив предварительно скорость убывания подинтегральной функции заменой
   Повторить вычисления с использованием функции gsl_integration_qagi ( подпакет QAGI библиотеки GSL ). Является такой подход оптимальным?
    
2. Построить и реализовать алгоритм численного расчета интеграла используя оптимальную, с точки зрения простоты численного алгоритма, замену переменных из набора
   
   Повторить вычисления с использованием функции gsl_integration_qawo ( подпакет QAWO библиотеки GSL ). Является такой подход оптимальным?
    
3. Определить положение экстремумов функции численно решая уравнение методами Ньютона, бисекции и секущих (интеграл в определении функции W следует определять любым численным методом). Численно оценить величину второй производной функции W в найденных точках, выбрав оптимальный шаг.

• GSL HTML Documentation (remote)

• ROOT System Home Page (tutorials)
• ROOT v5.28 Classes HTML Documentation
• ROOT User's Guide v5.26

• Numerical Recipies in C
• Introduction to Monte Carlo methods