2012 : 9301
previous || next
administration П.А.Лукин @ CMD Collaboration




Занятия 2-3

OpenSource математические библиотеки GSL и MATPACK. Генераторы случайных чисел и анализ статистических свойств распределений. Основы использования средств визуализации ROOT.


  • Общие характеристики генераторов псевдослучайных чисел, алгоритмы тестирования генераторов.
  • Методы генерации псевдослучайных последовательностей с заданной плотностью распределения (PS, pp.26-37).
  • Анализ свойств экспериментальных распределениий и гистограмм.

Задачи

  1. Настроить автоматическую установку переменных окружения библиотеки GSL и пакета ROOT: GSL_LIB, GSL_INC, ROOTSYS, LD_LIBRARY_PATH, PATH для bash/tcsh (путь к инсталляции GSL "/mnt/users/TEACHERS/zaitsev/softlib/gsl1.4", путь к инсталляции ROOT "/mnt/users/TEACHERS/zaitsev/softlib/root30507").
    Пример конфигурационного файла bash: /mnt/users/TEACHERS/zaitsev/.bash_profile
     
  2. Проверить рекуррентное соотношение для функций Бесселя второго рода, используя спецфункции GSL:
    Дополнителные материалы: Свойства функций Бесселя (by MathLink)
    Пример проекта: /mnt/users/TEACHERS/zaitsev/templates/gsl-project
     
  3. Построить метод генерации двумерного равномерного распределения в круге единичного радиуса с эффективностью более 90%. Можете ли Вы предложите метод, обеспечивающий эффективность 100%? Проконтролировать результат, заполняя соответствующую двумерную гистограмму типа TH2D.
    Пример проекта: /mnt/users/TEACHERS/zaitsev/templates/root-gsl-project
     
  4. Сгенерить тремя различными способами псевдослучайную последовательность с гауссовой плотностью распределения. Заполнить в каждом случае одномерную гистограмму и сравнить ее параметры с ожидаемыми значениями, оценить ошибки среднего и дисперсии для полученных распределений двумя способами. Исследовать поведение параметров гистограммы в зависимости от количества элементов в последовательности. Сравнить производительности и качество использованных методов.
     
  5. Сгенерить псевдослучайную последовательность {x_{i}} с гауссовой плотностью распределения со средним mu = 1 и дисперсией sigma << mu, построить гистограммы для наборов {x_{i}} и {f_{i}}, где f_{i} := \exp(4 x_{i}). Определить среднее и дисперсию для {f_{i}} путем анализа гистограммы и сравнить иx с расчетными. Объяснить происхождение систематики, если таковая обнаружилась, и исследовать ее поведение в зависимости от sigma. Рассчитать эффект двумя способами: по теории возмущений (sigma << mu) и точным аналитическим методом. Построить метод измерения величины f(E{x_{i}}), не использующий прямого измерения E{x_{i}}, и оценить его точность. Можете ли вы предложить другие методы?
    Дополнителные материалы:

     
  6. Реализовать линейный конгруэнтный генератор псевдослучайных последовательностей RANDU (IBM, 1968), воспользовавшись описанием алгоритма: ( TXT | PS | PDF ). Сгенерить с его помошью равномерные распределения в пространствах размерности 1, 2, 3 и сравнить статистические характеристики полученных распределений с ожидаемыми. Повторить исследование, используя генератор gsl_rng_rand или gsl_rng_mt19937.
    Дополнителные материалы: Классические линейные конгруэнтные генераторы

Задачи повышенной сложности

  1. Сгенерить псевдослучайную последовательность с плотностью распределения chi^{2} с произвольным количеством степеней свободы. Заполнить в каждом случае одномерную гистограмму и сравнить ее параметры с ожидаемыми значениями, оценить ошибки среднего и дисперсии для полученных распределений двумя способами. Исследовать поведение параметров гистограммы в зависимости от количества элементов в последовательности. Сравнить производительности использованных методов.
     
  2. Сгенерить псевдослучайную последовательность {\psi_{i}} с гауссовой плотностью распределения со средним mu = 1 и дисперсией sigma << mu. Исследовать зависимость поправки на нелинейность от величины sigma для функций
    и
    где
    Рассчитать эффект аналитически и методом разложения в ряд для обеих функций, определить чувствительность поправки на нелинейность к закладываемому разрешению:

  3. Оценить, какую максимальныю длину уникальной цепочки псевдослучайных чисел можно получить с генераторами gsl_rng_rand и gsl_rng_rand48 не опасаясь проявления в этой последовательности "эффектов гиперплоскостей" для задач с размерностями фазового пространства 4 и 10.

Полезные ресурсы


webmaster BINP NOVOSIBIRSK NSU PHYSICAL FACILITY HEP DEPARTMENT